高普考　103 年 高考三級 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 18 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1定義曲線 C 為 x = t, y = t 及 z = t2，其中 0 ≤ t ≤ 2 ，求函數 ϕ ( x , y ) = x + y 沿曲線 C 之線積分。

   1. (A) 8
   2. (B) 32/3
   3. (C) 8 2
   4. (D) 26 2 3

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) 弧長微元 ds = 根號（2 + 4t 平方）dt，被積函數為 2t，積分得 26 倍根號 2 再除以 3。

   ❌ (A) 8 為忽略弧長微元的結果。

   ❌ (B) 32 除以 3 未計入根號項。

   ❌ (C) 8 倍根號 2 的積分上下限代入有誤。

   📚 出處：工程數學－純量函數的線積分。

2. 2設 f 和 g 為可微分（differentiable）純量函數，v 和 u 為可微分向量函數，則有關它們的梯度（gradient）、散度（divergence）與拉普拉斯算子（Laplace operator）的等式，下列何者錯誤？

   1. (A) div(f v) = f div v + v‧∇ f
   2. (B) div( f ∇ g) = f ∇ 2 g + ∇ f‧∇ g
   3. (C) ∇ 2 f = div( ∇ f )
   4. (D) ∇ 2 ( f g) = g ∇ 2 f + f ∇ 2 g26720、30320

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) 正確的恆等式為 f 與 g 乘積的拉普拉斯運算尚須加上兩倍的梯度內積項，故此式錯誤。

   ❌ (A) 純量與向量乘積的散度公式正確。

   ❌ (B) 該式即由 (A) 推得的結果。

   ❌ (C) 拉普拉斯算子即梯度的散度。

   📚 出處：工程數學－向量微分恆等式。

3. 3令向量函數 F = [ y2, z, x2]，曲線 C 為螺旋圓弧線 r(t) = [2cost, 2sint, t]從 (2, 0, 0) 到 (-2, 0, π)，則線積分∫cF(r) dt 之值為何？1 2

   1. (A) [π , π ,π]
   2. (B) [π , π 2, π ]
   3. (C) [ 2π , π 2, 2π ]
   4. (D) [ 2π , π 2, 2π ]

   正解：(C)

4. 4令 u, v, w 為空間中向量，則下列敘述何者錯誤？

   1. (A) u ⋅ (u × w) = 0
   2. (B) u ⋅ (ν × w) = (w × u ) ⋅ v
   3. (C) u × (v × w) = ( u × v ) × w
   4. (D) u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w⎡− 2 1 0⎤⎢ 0 ⎥⎥ ，則其反矩陣 A-1 的特徵值之積為何？

   正解：(C)

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5. 5設A= ⎢ 1 −2⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦1 1

   1. (A) -3
   2. (B) 3
   3. (C) −
   4. (D) 3 3⎡ −1 −1 1 ⎤

   正解：(D)

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6. 6一個矩陣 M = ⎢ − 2 0 − 2⎥ ，則以下何者不是其特徵向量（eigenvector）？⎢ ⎥⎢⎣ 3 − 3 1 ⎥⎦

   1. (A) x = (2, -4, 6)
   2. (B) x = (2, 0, 6)
   3. (C) x = (2, 2, 0)
   4. (D) x = (-1, 0, 1)

   正解：(B)

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7. 7有關正交矩陣（orthogonal matrices）A 的特性，下列何者錯誤？

   1. (A) A 的行向量（column vector）都互為正交
   2. (B) A 的列向量（row vector）都互為正交
   3. (C) A 的行列式值（determinant）為 1 或-1
   4. (D) A 的特徵值（eigenvalues）全為實數

   正解：(D)

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8. 8下列選項何者為 ez = 1+2i 的一解，其中 i = − 1 ：

   1. (A) ln(2) + i tan−1 (5)
   2. (B) ln(5) + i tan−1 (2)
   3. (C) ln(2) + i ( 1 2) π
   4. (D) ln(5) + i (1 2 ) π26720、30320⎛ 2 1 1− i⎞⎜ ⎟

   正解：(B)

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9. 9令 λ1, λ2, λ3 為矩陣 A = ⎜ 1 0 − i ⎟ 的特徵值（eigenvalues），其中 i = − 1 ，試問下列何者正確？⎜1 + i i 2 ⎟⎠⎝

   1. (A) λ1+ λ2+ λ3 = 1 + i
   2. (B) λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3 = 1-i
   3. (C) λ1+ λ2+ λ3+λ1λ2λ3 = -2
   4. (D) λ1λ2λ3 = -2∞ (3n) !

   正解：(D)

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10. 10針對複數冪級數（complex power series） ∑ ( n !) 3( z − 2i)n 的敘述，下列何者正確？n=0

    1. (A) 此冪級數僅在 z = 2i 收斂
    2. (B) 此冪級數在 z − 2i < 1 / 27 的開放圓（open disk）內為收斂
    3. (C) 此冪級數在 z − 2i < 27 的開放圓內為收斂
    4. (D) 此冪級數在所有複數 z 均收斂∫c ze dz 為何？z

    正解：(B)

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11. 11假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 z = 2 ，試求積分

    1. (A) 0
    2. (B) πi
    3. (C) 1
    4. (D) 2πi

    正解：(B)

12. 12下列何項常微分方程式之 x = 0 為不規則奇點（irregular singular point）？

    1. (A) x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − 4) y = 0
    2. (B) x 2 y′′ + sin x ⋅ y = 0
    3. (C) x 5 y′′ + 4 x 4 y′ + 2 y = 0
    4. (D) 4 xy′′ + 2 y′ − y = 0−s+2

    正解：(C)

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13. 13設微分方程式 y′ + ay = 4e−2 x , y (0) = y0 的解 y(x) 的拉式轉換為 Y ( s) = ，試求常數 a 及 y0 ，並判定s + 6s + 8下列何者正確？

    1. (A) a + y0 = 4
    2. (B) a + y0 = 3
    3. (C) a + y0 = 2
    4. (D) a + y0 = 126720、30320ω cosφ + s sin φ

    正解：(B)

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14. 14已知 L [sin(ω t + φ )] = ，以下何者為 L [cos(ω t + φ )] ？s2 + ω 2

    1. (A) ω sin φ + s cosφ
    2. (B) s sin φ + ω cos φs2 + ω 2 s2 + ω 2
    3. (C) ω cosφ − s sin φ
    4. (D) s cosφ − ω sin φs2 + ω 2 s2 + ω 2

    正解：(D)

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15. 15試找出微分方程式 y′′ + λy = 0, y (0) = 0, y ( L) = 0 之特徵值（eigenvalues）λ m ( m = 1, 2 , 3 ,...) ？mL 2 mπ 2

    1. (A) λm = ( )
    2. (B) λm = ( )2π L2mπ 2 mL 2
    3. (C) λm = ( )
    4. (D) λm = ( )L π

    正解：(B)

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16. 16下列何者不可能是微分方程式 y′′ + Ay′ + By = 0 的解？其中 A 和 B 為常數。

    1. (A) x2
    2. (B) e 3 x+4
    3. (C) e2 + x
    4. (D) e2 x cos ( 3x + 4)∞ ⎛ 2 nπ x 2 nπ x ⎞

    正解：(A)

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17. 17有一個週期為 L 的函數 f ( x ) = x , 0 < x < L ，展開成 f ( x ) = a 0 +∑ ⎜ a n cosL+ bn sinL ⎠⎟ ，請問 bnn =1⎝為何？L L2 − L2 −LA. B. C. D.nπ nπ nπ nπ

    

    正解：(C)

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18. 18離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數（ joint probability mass function ）為：⎧ c ( x 2 + y ) , if ( x , y) = (1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 2 , 1 ) ⎫p X ,Y ( x , y ) = ⎨ ⎬ ，試問下列何者正確？⎩0 , otherwise ⎭1 1

    1. (A) Var (Y ) =
    2. (B) Var (Y ) =10 421 23
    3. (C) Var (Y ) =
    4. (D) Var (Y ) =100 1001 1

    正解：(C)

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19. 19二枚錢幣出現正面之機率分別為 及 ，同時投擲該二枚錢幣連續 3 次，試求二枚錢幣皆出現正面剛好3 22 次之機率為何？1 5 3 5A. B. C. D.72 72 32 36

    

    正解：(B)

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20. 20假設 50 歲以上的成年人罹患癌症的機率為 0.05，而醫生將患有癌症病患成功篩檢出來的機率為 0.78，但是將沒有患病的成年人錯誤篩檢為有癌症的機率為 0.06。請問針對此癌症篩檢來說，一位 50 歲以上的成年人會被檢測出他有癌症的機率為何？

    1. (A) 0.039
    2. (B) 0.096
    3. (C) 0.057
    4. (D) 0.05

    正解：(B)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。