高普考　107 年 高考三級 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 19 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1假 設 A， B 為 同 階 方 陣 ， 則 ① trace( AB) = trace(BA) ② trace( A + B) = trace( A) + trace(B)③ AB = BA ④ A + B = A + B ，下列敘述何者正確？

   1. (A) ①②③④皆成立
   2. (B) 僅①②③成立
   3. (C) 僅②③成立
   4. (D) 僅①③成立

   正解：(B)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (B) ①跡具循環性質，trace(AB)=Σᵢⱼaᵢⱼbⱼᵢ=trace(BA)，成立；②跡為線性運算，對角線元素相加可分離，trace(A+B)=trace(A)+trace(B)，成立；③行列式具乘法性，|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，成立；④|A+B|=|A|+|B| 不成立。故僅①②③成立。

   ❌ (A) ④為錯誤敘述，取 A=B=I₂ 時左式 |2I₂|=4，右式 1+1=2。

   ❌ (C) ①的跡循環性質對任意同階方陣皆成立，不能排除。

   ❌ (D) ②是跡的線性性質，必然成立，不可漏列。

   📚 出處：線性代數—矩陣跡（trace）之線性與循環性質、行列式乘法定理 |AB|=|A||B|。

2. 2令 a, b, c 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？

   1. (A) a×b=b×a
   2. (B) a×(b×c)=(a×b)×c
   3. (C) 若 a≠0 且 a×b=a×c，則 b=c
   4. (D) 若 a≠0 且 b≠0，仍有可能 a×b=0⎡1 a − 1⎤

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) 兩非零向量若互相平行（夾角為 0 或 π），其外積仍為零向量。

   ❌ (A) 外積反交換，a×b ＝ －(b×a)。

   ❌ (B) 外積不具結合律。

   ❌ (C) 由 a×b ＝ a×c 只能得 b－c 平行於 a，不能推出 b ＝ c。

   📚 出處：線性代數－向量外積的性質。

3. 3令矩陣 A = ⎢⎢0 1 1 ⎥⎥ ，若 A 的秩（rank）為 2，則 a 值為何？⎢⎣2 0 2 ⎥⎦

   1. (A) -2
   2. (B) -1
   3. (C) 0
   4. (D) 1

   正解：(A)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (A) 秩為 2 表示行列式為零：det ＝ 1(2－0)－a(0－2)＋(－1)(0－2) ＝ 4＋2a ＝ 0，故 a ＝ －2。

   ❌ (B) a ＝ －1 時行列式為 2，秩為 3。

   ❌ (C) a ＝ 0 時行列式為 4。

   ❌ (D) a ＝ 1 時行列式為 6。

   📚 出處：線性代數－矩陣的秩與行列式。

4. 4已知 n 為任意正整數， A ∈ ℜn× n 及 b ∈ ℜn×1 皆為已知常數矩陣， x ∈ ℜn×1 為未知矩陣。若線性方程式系統 Ax = b 存在唯一解，下列何者正確？

   1. (A) adj(A) = 0
   2. (B) rank(A) = 0
   3. (C) det(A) = 0
   4. (D) nullity(A) = 0

   正解：(D)

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5. 5求出線性轉換 L : R 3 → R 2 ， L( x, y, z ) = ( x − 2 y,2 x + y) 的代表矩陣為：⎡ − 1 2 0⎤ ⎡ 3 − 1 2⎤ ⎡1 − 2 0⎤ ⎡1 − 2 0 ⎤

   1. (A) L = ⎢ ⎥
   2. (B) L = ⎢ ⎥
   3. (C) L = ⎢ ⎥
   4. (D) L = ⎢ ⎥⎣ 2 1 0⎦ ⎣− 2 1 1⎦ ⎣1 1 3⎦ ⎣ 2 1 0⎦⎡− 1 2 0 4 5 − 3⎤⎢ 3 −7 2 0 1 4 ⎥⎥

   正解：(D)

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6. 6矩陣 A = ⎢ 的秩之值為何？⎢ 2 −5 2 4 6 1⎥⎢ ⎥⎣ 4 −9 2 −4 −4 7 ⎦

   1. (A) 1
   2. (B) 2
   3. (C) 3
   4. (D) 4

   正解：(B)

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7. 7將 e5+2i 化簡為 a+bi 形式的敘述（a,b 為常數），則化簡後結果為：

   1. (A) e5t (cos(2t ) + i sin(2t ))
   2. (B) e5t (cos(2t ) − i sin(2t ))
   3. (C) e5 (cos(2) + i sin(2))
   4. (D) e5 (cos(2) − i sin(2))sinh z

   正解：(C)

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8. 8假設路徑 C 為一逆時針方向的單位圓 z = 1 ，求 ∫C dz 之值為何？z2πiA. 2π i B.πi C. D. − πie −2 s

   

   正解：(A)

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9. 9函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）表示為 L{ f (t)}，若 L{ f (t )} = 2 ，則 f (t)為何？s − 3s + 2其中 u(t)為單位步階（unit step）。( )

   1. (A) et − 2 − e2t − 4 u (t − 2) ( )
   2. (B) − et − 2 + e 2t − 4 u (t − 2)( )
   3. (C) (t − 2)et − 2 + e 2t − 4 u (t − 2) ( )
   4. (D) − (t − 2)et − 2 + e 2t − 4 u (t − 2)t 1

   正解：(B)

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10. 10假 設 方 程 式 y (t ) − ∫0 y (τ )(t − τ )dτ = 2 − t 2 的 解 是 y (t ) = a + bet + ce −t ， 其 中 a,b,c 是 常 數 ， 求a+b+c=？

    1. (A) -1
    2. (B) 1
    3. (C) 2
    4. (D) 3dy

    正解：(C)

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11. 11下列何者可做為微分方程式 2 + (6 x − e− 2 y ) = 0 的積分因子（integration factor）？dx

    1. (A) e2xy3
    2. (B) x3e2y
    3. (C) e3y
    4. (D) e3x

    正解：(C)

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12. 12給定一個二維（2-dimension）微分方程式 x′(t ) = −2 y (t ), y′(t ) = x(t ) ，且滿足 x(0) = 2, y(0) = 0，則下列選項何者正確？

    1. (A) x(t ) = 2 cos t
    2. (B) x(t ) = 2 cos 2t
    3. (C) y(t ) = sin 2t
    4. (D) y (t ) = 2 sin 2t

    正解：(A)

13. 13下列何者是 ( x − 1) 2 y′′ − 4 xy′ + 4 y′ + 4 y = 0 的解？（選項中 c1 和 c2 為任意常數。）

    1. (A) c1 x 4 + c2 x
    2. (B) c1 ( x − 1)4 + c2 ( x − 1)
    3. (C) c1 x 2 + c2 x 2 ln( x)
    4. (D) c1 ( x − 1) 2 + c2 ( x − 1) 2 ln( x − 1)

    正解：(B)

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14. 14複變函數 f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 x+iy 為可微分，則下列何條件必須滿足？∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u

    1. (A) = 和 =
    2. (B) = 和 =−∂x ∂ y ∂x ∂y ∂x ∂ y ∂x ∂y∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u
    3. (C) =− 和 =
    4. (D) =− 和 =−∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

    正解：(B)

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15. 15求符合偏微分方程式 uxy – 4ux = 0 的通解。

    1. (A) c1 ( x)e −4 y + c2 ( y ) ，其中 c1,c2 為函數
    2. (B) c1 ( y )e 4 y + c2 ( x) ，其中 c1,c2 為函數
    3. (C) c1 ( x)e 4 y + c2 ( y ) ，其中 c1,c2 為函數
    4. (D) c1 ( y )e −4 y + c2 ( x) ，其中 c1,c2 為函數5s + 1

    正解：(C)

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16. 16求函數 F ( s) = ＿＿＿ 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？s 2 − 251 ＿＿＿ 1 ＿＿＿ 1 ＿＿＿ 1

    1. (A) 5 sinh 5t + cosh 5t
    2. (B) 5 cosh 5t + sinh 5t
    3. (C) 5 cos 5t + sin 5t
    4. (D) 5 sin 5t + cos 5t5 ＿＿＿ 5 ＿＿＿ 5 ＿＿＿ 5

    正解：(B)

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17. 17已知 F ( s ) = ℑ{ f (t )}為 f (t)的傅立葉轉換（Fourier transform），f *(t)為 f (t)的共軛複數（complexconjugate），其中 s = jω，下列何者錯誤？

    1. (A) f *(t)的傅立葉轉換為 F*(–s)
    2. (B) f *(–t)的傅立葉轉換為 F*(–s)1 s
    3. (C) f (–t)的傅立葉轉換為 F(–s)
    4. (D) f (3t)的傅立葉轉換為 F ( )3 3

    正解：(B)

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18. 18投擲兩顆公正骰子，獲得兩個相同數字（equal numbers）或是數字具偶數乘積（numbers with evenproduct）的機率為何？

    1. (A) 15/36
    2. (B) 27/36
    3. (C) 5/6
    4. (D) 8/9

    正解：(C)

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19. 19假設 X 和 Y 為兩個獨立的隨機變數，其聯合機率分布（joint probability distribution）f (x,y)為 f (2,1) = 0.1，f (2,3) = 0.2，f (2,5) = 0.1，f (4,1) = 0.15，f (4,3) = 0.3，f (4,5) = 0.15；試問一個隨機變數 Z = XY，則此隨機變數 Z 的期望值為何？

    1. (A) 3.6
    2. (B) 6
    3. (C) 9.6
    4. (D) 12

    正解：(C)

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20. 20若 X 的機率質量函數為 p(0) = 1/3, p(1) = 2/3，則其期望值 E[X]為多少？

    1. (A) 1/3
    2. (B) 1/2
    3. (C) 2/3
    4. (D) 1

    正解：(C)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。