高普考　110 年高考三級工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 20 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

12 × 2 實數矩陣 Q 的特徵值為 −2、−3。若定義矩陣跡（trace）為對角線元素相加，則 Q 的跡（trace）為何值？
1. (A) −5
2. (B) −3
3. (C) −2
4. (D) 5
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 矩陣的跡等於所有特徵值之和：(−2) + (−3) = −5。
❌ (B) −3 只是其中一個特徵值。
❌ (C) −2 只是另一個特徵值。
❌ (D) 5 為兩特徵值乘積（行列式值）的數值，且正負號有誤。
📚 出處：線性代數－特徵值與跡、行列式的關係。
2（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 圖中 T(x,y,z) = (x − y, z + y)、S(x,y,z) = (x + z, x + y)，故 (T+S)(x,y,z) = (2x − y + z, x + 2y + z)。令兩式為零：兩式相減得 x = 3y，代回得 z = −5y，零空間為 (3y, y, −5y)。(6, 2, −10) 取 y = 2 恰好符合。
❌ (B) (3, 2, −5) 需 x = 6 才符合 x = 3y。
❌ (C) (3, −2, 5) 代入第一式得 2(3) + 2 + 5 = 13 ≠ 0。
❌ (D) (−6, −2, −10) 代入第二式得 −6 − 4 − 10 = −20 ≠ 0。
📚 出處：線性代數－線性轉換之零空間（核空間）。
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (B) 圖中 C = 2A，故 det(C) = 2³ det(A) = 8 det(A)。det(ABC⁻¹) = det(A)det(B)/det(C) = det(B)/8。det(B) = 1(42 − 18) − 4(30 − 36) + 3(10 − 28) = 24 + 24 − 54 = −6，故答案為 −6/8 = −0.75。
❌ (A) −6 是 det(B)，尚未除以 det(C)/det(A)。
❌ (C) 0.25 正負號與數值均誤。
❌ (D) 0.75 漏掉負號。
📚 出處：線性代數－行列式的乘法性質與純量倍數性質。
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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8（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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9如果 3eiπ/3 +5e -iπ/4 +2eiπ =x+iy ( i= −1 ) ，那麼下列有關於 x、y 之敘述，何者正確？
1. (A) x∙y < 0
2. (B) x+y < 0
3. (C) x < y （ x , y 分別代表 x 與 y 之絕對值）
4. (D) x − y < x+y
正解：(A)
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10令 i 為單位虛數，則 sin(π + i) 的實部（real part）為何？
1. (A) π
2. (B) 1
3. (C) −1
4. (D) 04z2 + z + 2
正解：(D)
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11（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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12我們考慮複變函數 f(z)=z 2 +1 (z=x+iy) 沿著曲線 Γ 作線積分（line integral），其中 Γ 代表在複數平面上由 y=x 2 來描述的曲線；我們的積分範圍是從 0+i0 到 1+i1。我們用 α+iβ 來代表這一個線積分的結果，此結果可以看成複數平面上的一個點。若是採用這個觀點，那麼 α+iβ 與下列複數平面上的四個點之中的那一個最接近（也就是距離最小）？
1. (A) 0+i0
2. (B) 1+i1
3. (C) 1+i0
4. (D) 0+i1
正解：(D)
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13考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）：y′′ − x 2 y′ − 3xy = 0 ; y (0) = 1, y′(0) = −2如果我們將解（solution）寫成冪級數（power series）型式：∞y(x)= ∑ a n x nn=0那麼，下列選項何者正確？（可以試著套用函數的泰勒級數展開表示法（Taylor-series expansion）。）1 3 1
1. (A) a 0 =2
2. (B) a1 =
3. (C) a2 =
4. (D) a3 =3 2 2
正解：(D)
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14假設 y(x)可以由下列微分方程來描述：dy 3x 2 − 1=dx 2y+5而且合乎初始條件： y(1) = −1 。請問 y(0)=？
1. (A) −2 或 −3 或 5
2. (B) 2
3. (C) −4 或 −1
4. (D) 3 或 4|
正解：(C)
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15下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？
1. (A) y′′(t)+t 2 · y′(t)+cos(t) · ( y(t) ) =0
2. (B) y′′(t)+2y′(t)+e − t · y(t)=sin(2t)
3. (C) y(t) · y′′(t)+t 2 · y′(t)+cos(t) · y(t)=0
4. (D) y′′(t)+2t · y′(t)+e− t · y(t)= y(t)dy
正解：(B)
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16給定微分方程式 + 2 y = tδ (t − 2) ，初始值為 y(0) = 0 ， δ (t ) 為脈衝函數（impulse function）。則dty (t ) 的拉氏轉換（Laplace transform）為何？2 −2s 1 s2 2s 2
1. (A) e
2. (B) e−2 s
3. (C) e −2 s
4. (D) 2 e −2 ss+2 s ( s + 2)s ( s + 2)s ( s + 2)
正解：(A)
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17考慮微分方程式 y′′ + 5 y′ + 6 y = x ，初始值為 y(0) = A 和 y′(0) = B 。若其解為1 1 1y = e−2 x − e−3x + x + C ，則 A + B + C 為下列何值？2 3 61 1 1A.2 B. C. D.3 18 36
正解：(C)
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18有兩位桌球選手，根據以往的經驗，在每一局的比賽之中兩人的勝率比例為 6 比 4。如果他們進行一場五戰三勝的比賽（也就是搶先贏得三局的選手為整場比賽的勝利者），那麼請問這場比賽會剛好在打完第四局的時候分出勝負的機率為何？75 162 234 375A. B. C. D.625 625 625 625
正解：(C)
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19有兩個隨機變數 X 與 Y，我們以 PXY (x,y)=Prob(X=x,Y=y) 來代表其合併機率函數（joint probabilityfunction），且其值如下所示： PXY (1,1)=0.07 、 PXY (1,2)=0.09 、 PXY (1,3)=0.12 、 PXY (2,1)=0.25 、PXY (2,2)=0.07 、 PXY (2,3)=0.18 、 PXY (3,1)=0.06 、 PXY (3,2)=0.07 、 PXY (3,3)=0.09 。請計算下列條件機率之值： Prob( Y=3 X=2)= ？
1. (A) 0.25
2. (B) 0.36
3. (C) 0.60
4. (D) 0.84
正解：(B)
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20設 X 為一連續隨機變數（random variable），機率密度函數（probability density function）為常態分布（normal distribution），平均值為 45，標準差為 15。若欲將 X 轉換為 Y，其機率密度函數仍為常態分布，平均值為 65，標準差為 10。則 X 與 Y 的關係式為下列何者？1 2 2
1. (A) Y = X + 50
2. (B) Y = X + 35
3. (C) Y = X + 47
4. (D) Y = X + 203 3 5
正解：(B)
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