地方特考　109 年 三等 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 8 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1對稱矩陣 = 0 0 0 ，其對角化矩陣（diagonal matrix） = ，其中 是正交矩陣，求 =？2 0 40 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

   1. (A) 0 0 0
   2. (B) 0 0 0
   3. (C) 0 2 0
   4. (D) 0 2 00 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5

   正解：(A)

2. 2矩陣 和 ，令det = 6和det = 2，求det =？

   1. (A) 12
   2. (B) 6
   3. (C) 3
   4. (D) 0

   正解：(C)

3. 3設 為常數向量（constant vector）， = + + ，∇= + + ，下列何者錯誤？

   1. (A) ∇ ∙ = 3
   2. (B) ∇ ∙ ( × ) = 0
   3. (C) ∇ × = 0
   4. (D) ∇ × ( × ) =( , )

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) 設 a 為常數向量、r＝xi＋yj＋zk。標準恆等式為 ∇×(a×r)＝a(∇·r)－(a·∇)r＝3a－a＝2a，本選項所列的結果與 2a 不符，故為錯誤的敘述（其餘三項均為成立的恆等式）。

   ❌ (A) ∇·r＝∂x/∂x＋∂y/∂y＋∂z/∂z＝1＋1＋1＝3，敘述正確。

   ❌ (B) 由 ∇·(a×r)＝r·(∇×a)－a·(∇×r)，常數向量的旋度為 0、位置向量的旋度也是 0，故值為 0，敘述正確。

   ❌ (C) r 的旋度逐項計算皆為零，位置場為無旋場，∇×r＝0，敘述正確。

   📚 出處：工程數學—向量微積分，梯度／散度／旋度恆等式（Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics，向量微分章）。

4. 4求∫( , ) 2 + =？

   1. (A) 10
   2. (B) 15
   3. (C) 20
   4. (D) 251 0

   正解：(B)

5. 5矩陣 = ，求 =？0 −1

   1. (A) 2 0
   2. (B) 0
   3. (C) 0
   4. (D) 2 00 0 2 0 0 2

   正解：(C)

6. 6下列矩陣何者的秩（rank）等於2。

   1. (A) 1 −2
   2. (B) 2 1
   3. (C) 3
   4. (D) 4 5

   正解：(B)

7. 7下 列 那 一 個 是 適 合 的 積 分 因 子 （ integrating factor ） ， 乘 上 它 以 後 ， 將 使 微 分 方 程 式 (x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？

   1. (A) 1
   2. (B) 1
   3. (C) x
   4. (D) x2

   正解：(C)

8. 8微分方程式 y′′ − 6 y′ + 9 y = t 2e3t ，其中 y(0) = 2, y′(0) = 6 。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求2( s − c ) d + 2解後得到 Y ( s ) = ，則下列何者錯誤？( s − a )b

   1. (A) a+b+c+d=15
   2. (B) a+b+c−d=7
   3. (C) a−b−c+d=−1
   4. (D) −a+b−c+d=−3

   正解：(D)

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9. 9設 ( )= +∑ ( cos + sin )為函數 ( ) = ，− < < 之傅立葉級數（Fourierseries），其中 , , 為常數，下列何者正確？

   1. (A) + ≠0
   2. (B) + ≠0
   3. (C) ∙ ≠0
   4. (D) ≠0

   正解：(A)

10. 10設 = + + 為微分方程 + + + = 0的通解（general solution），其中, , , , , 為常數，下列何者正確？

    1. (A) = −1
    2. (B) = −1
    3. (C) = −1
    4. (D) + + = −1

    正解：(D)

11. 11求積分方程 ( ) = cos + ∫ ( − ) 的解。

    1. (A) 1 − sin
    2. (B) 1 + sin
    3. (C) cos − sin
    4. (D) cos + sin, 0≤ ≤1

    正解：(D)

12. 12令連續隨機函數 X 具有機率密度函數 ( ) = ，求其變異數（variance） 。（其中0 , otherwisek 為常數）1 3 1 3A. B. C. D.40 40 80 80, 0 ≤ ≤ 1 and 0 ≤ ≤1

    

    正解：(D)

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13. 13令連續二維隨機變數 X 和 Y 具有機率密度函數 ( , ) = ，求0, otherwise其機率 ( > 0.25, > 0.5)。（其中 k 為常數）5 9 45 75A. B. C. D.8 16 64 128

    

    正解：(C)

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14. 14求複變函數積分∮ −( ，其中積分路徑 為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。( ) )π π π π

    1. (A) i
    2. (B) − i
    3. (C) i
    4. (D) − i4 4 2 2

    正解：(A)

15. 15求複變函數積分∮ ，其中積分路徑 為逆時鐘方向繞橢圓周16 + = 4。( )( )A.2 B.−2 C. D.−

    

    正解：(C)

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16. 16複變函數 ( ) = −3 +4 − 5 ，求 =？√

    1. (A) 5
    2. (B) 4
    3. (C) 3
    4. (D) 2( )

    正解：(A)

17. 17z 為一複數，若 Γ 是平面中一個包含原點 z=0之封閉路徑，∮ =？

    1. (A) 0
    2. (B) − 2
    3. (C) 2
    4. (D) 2

    正解：(D)

18. 18（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

    

    正解：(C)

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19. 19令一曲線 C 為 x = t 2 , y = −t , z = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 ，則 ∫ x 2 dx − yzdy + e z dz =？C1 1 11 11

    1. (A) e+
    2. (B) e−
    3. (C) e−
    4. (D) e+12 12 12 12

    正解：(C)

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20. 20下表所示為 x 及 y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則 X 與 Y 之共變異數COV(X,Y )=？x1=1 x1=0 x1=−1y1=1 0 1/4 1/4y2=−1 1/4 1/4 01 1A. B.− C.−1 D.14 2

    

    正解：(B)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。