地方特考　111 年 三等 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 18 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1我 們 準 備 對（1, −1,3）以 及（2, 0, −4）這 兩 個 向 量 做 外 積 （ cross product ）。 如 果 將 答 案 寫 成（1, −1,3 ×）（2, 0, −4）（= a, b, c），那麼 a × b × c =？

   1. (A) 30
   2. (B) 80
   3. (C) 100
   4. (D) 150

   正解：(B)

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   ✅ (B) (1,−1,3)×(2,0,−4)＝(4, 10, 2)：i 分量＝(−1)(−4)−3×0＝4，j 分量＝−[1×(−4)−3×2]＝10，k 分量＝1×0−(−1)×2＝2；故 a×b×c＝4×10×2＝80。

   ❌ (A) 30 與外積結果不符。

   ❌ (C) 100 的分量計算有誤。

   ❌ (D) 150 同樣不符。

   📚 出處：向量代數；外積。

2. 2考慮一線性方程組 Ax = b ， A 為 m × n 矩陣， m > n 。下列敘述何者錯誤？

   1. (A) 該方程組可能無解
   2. (B) 該方程組可能只有一解
   3. (C) 該方程組不可能有無窮多解
   4. (D) 矩陣 A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）

   正解：(C)

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   ✅ (C) 此項錯誤：m＞n 只保證方程式數多於未知數，若係數矩陣的秩小於 n，仍可能有無窮多解。

   ❌ (A) 敘述正確，超定方程組常無解。

   ❌ (B) 敘述正確，秩等於 n 且相容時恰有一解。

   ❌ (D) 敘述正確，m＞n 時秩至多為 n，列階梯形必有全零列。

   📚 出處：線性代數；線性方程組的解的結構。

3. 3如果用 φ 來代表（1,3, 2）與（0, −1, 4）這兩個向量之夾角，那麼 sin 2 φ = ？請選出最接近的數值：

   1. (A) 0.9
   2. (B) 0.7
   3. (C) 0.5
   4. (D) 0.3

   正解：(A)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (A) 內積＝1×0＋3×(−1)＋2×4＝5，|u|＝√14、|v|＝√17，cos φ＝5/√238≒0.324，故 sin²φ＝1−0.105≒0.895，最接近 0.9。

   ❌ (B) 0.7 與計算值有明顯落差。

   ❌ (C) 0.5 不符。

   ❌ (D) 0.3 約為 cos φ 的值。

   📚 出處：向量代數；內積與夾角。

4. 4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(C)

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5. 5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(A)

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6. 6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(D)

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7. 7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(C)

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8. 8在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？

   1. (A) ez
   2. (B) z3
   3. (C) z
   4. (D) z （z 的共軛複數）6 + i −7 5 − 2i

   正解：(D)

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9. 9考慮如下所示之複變函數： f(z) = 3 + 2 + + 1 − 2z + (5 − i) · z 2 + z3 （ i = −1 ）。如果我們將z z z該函數在 z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成 a + b · i 的形式，那麼 a + b = ？

   1. (A) −2
   2. (B) 0
   3. (C) 3
   4. (D) 2π

   正解：(C)

10. 10在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成z = x + i · y （ i = −1 ）的形式，接著我們用 Γ 代表 y = x 這條曲線，而且其起點為 (x, y) = (0, 0) 、終點為 (x, y) = (1,1) 。請計算 ∫ z2dz 並且將結果寫成 a + b · i 的形式，此時 a · b 的數值與下列選項何Γ者最為接近？

    1. (A) −5
    2. (B) −1
    3. (C) 1
    4. (D) 5s −s+2

    正解：(B)

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11. 11令 g ( z ) = ∫ ds ，其中路徑積分之路徑 C 為以 ±2, ±2i 為頂點之正方形的邊界，行經方向為C (s − z )2正。請問 g (1) 之值為何？

    1. (A) 2π i
    2. (B) 1
    3. (C) 0
    4. (D) 4π i

    正解：(A)

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12. 12有一個雙變數函數 f(x, y) = x · sin(x · y) 。請問 f(x, y) 在（1, π）的梯度（gradient）為何？

    1. (A) （1, π）
    2. (B) （π,1）
    3. (C) （− π, −1）
    4. (D) （1, −π）

    正解：(C)

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13. 13考慮微分方程式： y&&(t ) + y& (t ) + y (t ) = sin ω t , t ≥ 0 ，其中 &y& 與 y& 分別代表 y 對變數 t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？

    1. (A) 對於某些（y& (0), y (0)）初值，方程式的解會收斂到零
    2. (B) 對於任何非零之（y& (0), y (0)）初值，方程式的解是一個頻率為 ω 之週期函數
    3. (C) 對於任何非零之（y& (0), y (0)）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率 ω 產生變化
    4. (D) 對於任何非零之（y& (0), y (0)）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數

    正解：(D)

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14. 14考慮一個初始值問題（initial-value problem）__微分方程： y′′(x) + x · y′(x) + ex · y(x) = x 2 +1 ，初始條件： y(0) = 2 、 y ′(0) = − 1 。 如果我們將本問題的解答 y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：y(x) = ∑∞n=0 a n · x n ，那麼， a 2 = ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將 a 2 與 y ′′(0) 做連結）1 1

    1. (A) −1
    2. (B) −
    3. (C) 0
    4. (D) 2 3∞

    正解：(B)

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15. 15下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation） L( f ) := ∫ f (t )e − st dt 之敘述，何者錯誤？

    1. (A) L( f + g) = L( f ) + L( g)
    2. (B) L−1 ( f + g ) = L−1 ( f ) + L−1 ( g ) ，其中 L−1 為 L 之逆轉換
    3. (C) L( fg ) = L( f ) L( g )
    4. (D) L( f ′) = s · L( f ) ，其中 f ′ 為 f 之導函數，且 f (0) = 0

    正解：(C)

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16. 16考慮以下函數： f (t ) = 1 ，當 0 ≤ t ≤ 2 ； f (t ) = 0 ，當 t ≤ 0 或 t ≥ 2 。下列敘述何者正確？

    1. (A) 函數 f (t ) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 F (ω ) = 2e− jω sin(ω ) / ω
    2. (B) 函數 g (t ) := f (t + 1) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 G (ω ) = cos(ω ) / ω
    3. (C) 函數 h(t ) := cos(ω0t ) f (t ) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 H (ω ) = 2sin(ω − ω0 ) / (ω − ω0 )
    4. (D) 函數 m (t ) := f ( −t ) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 M (ω ) = − sin(ω ) / ω

    正解：(A)

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17. 17考慮一隨機變數 x，其機率密度分布函數具有下列形式： f ( x) = 1 − x , x ≤ 1 ，且 f ( x) = 0, x > 1 。請問 x 之變異數（variance）為何？

    1. (A) 1/ 6
    2. (B) 2/3
    3. (C) 1 / 6
    4. (D) 2/3

    正解：(C)

18. 18（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

    

    正解：(B)

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19. 19假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為 0.4，出現反面的機率為 0.6。如果我們丟擲這個銅板 5 次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接近答案的數值。）

    1. (A) 0.1
    2. (B) 0.2
    3. (C) 0.3
    4. (D) 0.42i

    正解：(C)

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20. 20請問 i 的主值（principal value）為何？

    1. (A) 0
    2. (B) −i
    3. (C) eiπ
    4. (D) e −π

    正解：(D)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。