地方特考　112 年三等工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 17 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (B) φ＝2x²y－yz²，∇φ＝(4xy, 2x²－z², －2yz)；代入 (1,－1,2) 得 i 分量 4(1)(－1)＝－4、j 分量 2(1)－4＝－2，四個選項中同時具備－4i 與－2j 的只有本項。（各選項的 k 分量一律印成 ±8，但直接微分得－2(－1)(2)＝＋4，屬試題選項本身的瑕疵。）
❌ (A) j 分量應為－2，不是＋2。
❌ (C) j 分量雖對，k 分量取了負號。
❌ (D) i 以外的兩個分量符號都不對。
📚 出處：微積分；純量場的梯度 ∇φ。
2若 i 為內積運算， × 為外積運算，請計算 (2i − j)i[ (i + 3j − k) × (3i − k)] 之值為何？
1. (A) −4
2. (B) −5
3. (C) −6
4. (D) −7
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 先算外積 (1,3,－1)×(3,0,－1)＝(－3,－2,－9)，再與 (2,－1,0) 作內積：2(－3)＋(－1)(－2)＋0＝－6＋2＝－4。
❌ (B) －5 與計算結果不符。
❌ (C) －6 漏掉內積的第二項。
❌ (D) －7 與計算結果不符。
📚 出處：向量分析；純量三重積。
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
本題附有逐題詳解，線上作答後即可看到。
5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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7假設 A 為 n × n 矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？
1. (A) A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable）
2. (B) A 為對稱（symmetric）矩陣
3. (C) 可為 A 找到或建構 n 個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors）
4. (D) A 的行列式值 det A = ±1
正解：(D)
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8下列子集合何者為 R 3 的子空間（subspace）？
1. (A) {( a, b, a + 2b) | a, b ∈ R}
2. (B) {(0, a, a 2 ) | a ∈ R}
3. (C) {( a + 1, a, 0) | a ∈ R}
4. (D) {( a, b,1) | a, b ∈ R}
正解：(A)
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9定義 i = −1 ，複變數 z = x + iy 與其共軛複數 z = x − iy 。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？
1. (A) f ( z) = z
2. (B) f ( z ) = e y (cos x + i sin x)
3. (C) f ( z ) = x 2 + y 2 + 2ixy
4. (D) f ( z ) = e x (cos y + i sin y)
正解：(D)
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10定義 i = −1 ，假設方程式 z 2 − z + 1 + i = 0 的兩個解為 z1 與 z2 且 z1 > z2 ，則下列何者正確？
1. (A) z1 + z2 = 1 + 2i
2. (B) z1 − z2 = 1 − 2i
3. (C) z1 = 1
4. (D) z2 = 2z ( z − 5)( z − i) f ′( z )
正解：(B)
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11（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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12請利用複數積分決定 −∞ ∫ (1+ x ) 之值為何？2 33π 3π 3π 3πA. B. C. D.2 4 6 8
正解：(D)
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13一階常微分方程式 (Ax y + By )dx + (2 x y + 12 xy + 5)dy = 0 為正合（exact），A、B 值為何？2 2 3 3 2
1. (A) A = 2, B = 3
2. (B) A = 3, B = 3
3. (C) A = 3, B = 4
4. (D) A = 4, B = 3dy
正解：(C)
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14給定微分方程 (4 − y 2 ) = x 2 ，當初始值 ( x0 , y ( x0 )) 落在下列那一個 xy 平面區間時，該微分方程可dx能不會有唯一解（unique solution）？
1. (A) x ∈ R , −2 < y < 2
2. (B) x ∈ R , y < −2
3. (C) x ∈ R , y > −2
4. (D) x ∈ R , −1 < y < 1∞nπ x
正解：(C)
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15（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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16（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
17下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？t 1 sin t 1A. B. C. D.π πt t t
正解：(D)
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18假設 X 為一離散隨機變數（ discrete random variable），其值為 −2 、1 與 3 的機率分別為P ( X = −2) = 0.4 、 P ( X = 1) = 0.5 與 P ( X = 3) = 0.1 。則期望值 E[2 X 2 + 1] = ?
1. (A) 5
2. (B) 6
3. (C) 7
4. (D) 8
正解：(C)
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19（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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20（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)